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Geometrische Brownsche Molekularbewegung

Die geometrische Brownsche Molekularbewegung (GBM) ist eine Art Random-Walk-Modell, welches Fluktuationen ähnlich derer von Aktiencharts erzeugt. Dabei beschreibt der zugrunde liegende Datengenerierungsprozess (DGP) exponentielles Wachstum, das durch normalverteilte Zufallsschocks abgelenkt wird.

Der Wert eines GBM-Prozesses St ändert sich wie in der nachfolgenden stochastischen Differentialgleichung (SDE) definiert:

\begin{align}
dS_t = r S_t dt + \sigma S_t dW_t
\end{align}
\begin{aligned}
S_t &: \mathrm{Wert~zum~Zeitpunkt}~t\\
r &: \mathrm{Wachstumsrate}\\
\sigma &: \mathrm{Volatilität}\\
W_t &: \mathrm{Wiener~Prozess}
\end{aligned}

In Gleichung (1) treibt der deterministische Term rStdt das exponentielle Wachstum voran und der stochastische Term σSt​dWt​ steuert zufällige Schocks bei. Innerhalb des stochastischen Terms ist es der Wiener-Prozess[3] Wt, welcher die zufällige Variabilität verursacht. Wiener-Prozesse integrieren Gaußsches weißes Rauschen und haben die folgenden grundlegenden Eigenschaften:

\begin{align}
&W_0 = 0\\
&W_{t}  \sim~N(0,t)
\end{align}

Weiterhin sind nicht überlappende Inkremente von Wt unabhängig.

Um eine mathematische Lösung für St zu finden, ist Gleichung (1) durch Integration zu lösen. Dies beinhaltet jedoch stochastischen Calculus und wird in einem späteren Abschnitt erläutert. Stattdessen ist es intuitiver, mit einer diskreten Version von Gleichung (1) für eine Simulation zu beginnen. Aufgrund der Beziehung (3) haben die Inkremente dWt über die Zeitspanne Δt eine Varianz von Δt. Daher kann das aggregierte Inkrement ΔWt ausgedrückt werden als:

\begin{aligned}
\Delta W_t = \sqrt{\Delta t} ~ \epsilon_t\\
\epsilon_t \overset{\mathrm{iid}}{\sim} N(0,1)
\end{aligned}

Folglich ist die diskrete Version von Gleichung (1) gegeben durch:

\begin{align}
\Delta S_t &= r S_t \Delta t + \sigma S_t \sqrt{\Delta t} ~\epsilon_t
\end{align}

In der Computerstatistik werden die unabhängig und identisch verteilten (iid) Schocks ϵt einfach aus einer Standardnormalverteilung gezogen. Es ist daher einfach, GBM-Pfade ausgehend von einem Anfangswert St und rekursiven Anwendungen von Gleichung (4) zu erhalten.

Geometrische Brownsche Molekularbewegung.
Abbildung 1: ein GBM Beispielpfad generiert in diskreten Zeitschritten.

Abbildung 1 zeigt ein Beispiel für einen geometrischen Brownschen Bewegungspfad mit einem Startwert von 100, 4 % jährlichem Wachstum und 10 % Volatilität entwickelt über einen Zeitraum von 10 Jahren. Aufgrund der Ähnlichkeit der geometrischen Brownschen Bewegung mit Börsenkursen nutzen Ökonomen zur Preisfindung von Derivaten mitunter Projektionen aus solchen Zufallspfaden.

Schätzung von GBM-Eigenschaften durch Monte Carlo Simulation

Die Monte-Carlo-Simulation ist eine Methode zum Schätzen von Merkmalen zufälliger Ergebnisse aus einer sehr großen Anzahl unabhängiger Stichproben. Abbildung 2 demonstriert das Prinzip anhand von fünf Ausgaben S0–S4 eines GBM-Generators. Selbst ohne Kenntnis der Eigenschaften von Gleichung (4) kann man vermuten, dass sich die Pfade entlang einer deterministischen Trendlinie E[S] mitteln.

Fünf GBM Pfade mit dem Erwartungswert als gepunktete Linie.
Abbildung 2: fünf Ausgaben eines GBM-Generators mit Mittelwertbildung um die gepunktete Linie.

Die Eigenschaften von GBM werden nun in einem Experiment mit 10.000 Monte-Carlo-Pfaden geschätzt. Simulationsparameter für Gleichung (4) sind r=4%, σ=10%, Δt=7 Tage und S0=100 als Startwert für die Rekursion. Darüber hinaus beträgt die Simulationszeitspanne 10 Jahre, was insgesamt 522 Datenpunkte pro Pfad ergibt. Die gesuchten GBM-Eigenschaften können nun mit folgenden Formeln berechnet werden:

\begin{align}
\bar{S_t} &= \frac{1}{N}\sum_{i=0}^{N}{S_{ti}}\\
Var[S_t] &= \frac{\sum_{i=0}^{N}{(S_{ti}-\bar{S_t})^2}}{N-1}\\
Var[\bar{S_t}] &= \frac{1}{N}Var[S_t]\\
R_{ti} &= \frac{1}{t}log(\frac{S_{ti}}{S_0})\\
\bar{R_t} &= \frac{1}{N}\sum_{i=0}^{N}{R_{ti}}\\
Var[R_t] &= \frac{\sum_{i=0}^{N}{(R_{ti}-\bar{R_t})^2}}{N-1}\\
Var[\bar{R_t}] &= \frac{1}{N}Var[R_t]\\
\end{align}
\begin{alignat*}{2}
\bar{S_t} &&~:~ &\mathrm{Mittelwert ~ der ~ Pfade}\\
R_{ti}&& ~:~ &\mathrm{Rendite~zu ~Pfad}~i\\
\bar{R_t} &&~:~&\mathrm{Mittelwert~der~Rendite}\\
i &&~:~&\mathrm{Scenario~Index}\\
\end{alignat*}

In den Gleichungen (7) und (11) sind die Varianzen des Mittelwerts kleiner als die Gesamtvarianzen als Folge des Central Limit Theorems[1]. Dieser Gewinn an Präzision ist natürlich der springende Punkt bei der Monte-Carlo-Simulation. Die Mittelwerte aus den Gleichungen (5) und (9) dienen dann zur Schätzung des erwarteten Pfadwerts und der Anlagerendite.

\begin{align}
E[S_t] &= \bar{S_t}\\
E[R_t] &= \bar{R_t}
\end{align}

Um schließlich Simulationsergebnisse zu präsentieren, ist es sinnvoll, Gleichung (12) in Bezug auf eine Wachstumsrate μ umzuschreiben:

\begin{align}
E[S_t] &= S_0~e^{(\mu t)}\\
\mu &=\frac{1}{t}ln(\frac{E[S_t]}{S_0})
\end{align}

Ergebnisse der Simulation zur geometrischen Brownschen Molekularbewegung

Das beschriebene Verfahren und die Formeln zur Schätzung von GBM führen zu folgenden Ergebnissen:

EigenschaftWert95% KI
E[St]149,33148,38 – 150,29
μ4,0082%3,9442 – 4,0719%
Var[St]2368,7N/A
E[Rt]3,5037%3,4414 – 3,5659%
Tabelle 1: Schätzungen zum Zeitpunkt t=10 Jahre für 10.000-GBM-Pfade mit 4 % Wachstum, 10 % Volatilität und Angaben zu 95% Konfidenzintervallen.

Tabelle 1 enthält zwei wichtige Ergebnisse. Zunächst einmal bestätigt sich, dass der deterministische Term rSt​dt aus Gleichung (1) das erwartete Wachstum der GBM-Pfade festlegt. Dies folgt aus dem sehr nahe am Eingabewert r der Simulation gelegenen Schätzwert μ. Noch wichtiger ist jedoch, dass die Schätzung für die erwartete Anlagerendite E[Rt] etwa 0,5 % unter dem erwarteten Wachstum liegt. Das mag verblüffen, ist jedoch eine sehr wichtige und nützliche Erkenntnis für Anlagestrategien: Volatilität ist schlecht für die Rendite!

Mathematische Herleitung der GBM Rendite mittels Itô Calculus

Die in Tabelle 1 gezeigten Ergebnisse für das Monte-Carlo-Simulationsexperiment mögen etwas überraschend erscheinen. Die erwartete Rendite aus volatilen Anlagen ist geringer als die Rendite aus erwarteten Auszahlungen. Wenn exponentielles Wachstum ein schwer verständliches Konzept und die Existenz zufälliger Variabilität schwer zu akzeptieren ist, wie viele Menschen können dann die Folgen der Kombination von beidem nachvollziehen? Und doch veröffentlichte der Mathematiker Itô bereits 1951 einen Beweis.

Um die Investitionsrendite zu erhalten, wurden in Gleichung (8) die Logarithmen der Pfadergebnisse berechnet. Ebenfalls ist es möglich, den durch Gleichung (1) definierten GBM-Prozess logarithmisch umzuschreiben. Im Itô-Calculus[2] werden Infinitesimale als Taylor-Reihenentwicklungen zweiter Ordnung angenähert:

d(f(x)) = \frac{\partial{f(x)}}{\partial{x}}dx + \frac{\partial^2{f(x)}}{2~\partial{x}}dx^2

Mit f(x)=ln(x):

\begin{aligned}
\frac{\partial ln(S_t)}{\partial S_t} &= \frac{1}{S_t}\\
d(ln(S_t)) &= \frac{dS_t}{S_t} - \frac{1}{2}\frac{dS_t^2}{S_t^2}\\
\end{aligned}

Hierbei ist der Term dSt2 das Quadrat der in Gleichung (1) angegebenen SDE:

\begin{aligned}
dS_t^2 = &~dS_t \cdot dS_t\\
dS_t^2 = &~r^2 S_t^2 dt^2\\
&+ 2~r\sigma~dt~dW_t\\
&+ \sigma^2 S_t^2 dW_t^2
\end{aligned}

In Infinitesimalrechnung nähert sich dt2 schneller gegen Null wenn dt→0. Dies gilt in ähnlicher Weise für das Produkt dt⋅dWt. Dahingegen ist der Erwartungswert von dWt2 proportional zu dt, weil ja die Varianz von Wt den Wert t hat. Daher ist der dWt2 der einzige Term von dSt2 mit einem Einfluss auf das Endergebnis. Dieser besteht in einer deterministischen Drift der Größenordnung O(t). Durch Substitution in die Taylor Reihe ergibt sich:

\begin{aligned}
d(ln(S_t)) &= \frac{dS_t}{S_t} - \frac{1}{2}\frac{dS_t^2}{S_t^2}\\
d~lnS_t &= \frac{dS_t}{S_t} - \frac{1}{2}\sigma^2dt\\
d~lnS_t &= (r - \frac{\sigma^2}{2})dt + \sigma dW_t
\end{aligned}

Die Renditen der GBM-Pfade werden also um einen Volatilitätsterm σ2/2 geschmälert. Nun vergleiche man diese mathematische Herleitung mit dem Ergebnis in Tabelle 1. Für σ=10 % ergibt σ2/2=0,5 %, was ziemlich nahe an der in der Simulation beobachteten Differenz von 0,5045 % liegt.

Zum Schluss noch die Formeln für Erwartungswert und Varianz der GBM-Pfade:

\begin{aligned}
E[S_t]&=S_0e^{r t}\\
Var[S_t]&=S_0^2e^{2r t}(e^{\sigma^2 t} -1)
\end{aligned}

Setzt man r = 4 %, S0 = 100, σ = 10 % und t = 10 ein, so ergibt eine theoretische Varianz von 2340,62. Das ist wiederum nicht zu weit von der Schätzung von 2368,7 entfernt. Monte-Carlo-Simulation funktioniert!

Referenzen

[1] Central Limit Theorem: Wikipedia.org

[2] Itô calculus: Wikipedia.org

[3] Wiener Process: Wikipedia.org

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Geometrische Brownsche Molekularbewegung auf Englisch: finalgebra.com


Publiziert: 22. Dezember 2022
Aktualisiert: 24. Dezember 2022

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